enriched categoryおよびendの例として、距離空間とその間の射の距離を考える。
V=\R_>0 \cup {\infty}を正の実数と無限大からなる順序集合とし、それを圏と思う。さらに足し算によりmonoidal categoryとみなす。unitは0である。射の向きはx >= yの時x \to yとする。
このときV-enriched category XとはXの対象x, yに対して、X(x,y)がVの対象、すなわち正の実数または無限大が対応するもので、X(x,y) \times X(y,z) \to X(x,z)が定まっている。
距離空間の点を対象、射X(x,y)=d(x,y)とすれば上の意味でのV-enriched categoryとみなすことができる。
実際、三角不等式があるので射の合成が定まり、X(x,x)=0であるから0 \to X(x,x)が定まる。
距離空間X, YをV-catとした時に、その間のV-functor f:X \to YはX(x,y) \to Y(fx, fy)が定まる、つまりd(x,y) >= d(fx, fy)であるような射、つまり縮小写像である。
またf, gの間のV-natural transformation [X,Y](f,g)=\int_x\in X Y(fx, gx)は、endの定義から任意のx \in Xへの射v \to Y(fx, gx)を持つものの中で最小のもの、つまりsup_{x \in X}d(fx, gx)である。
