https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf Z^fと\rho^f:Z^f \to Yを定義する。 まずZ^f_0 = X, \rho^f_0 = fとする。 Z^f_\betaと\rho^f_\betaが定まっているとき、Z^f_{\beta+1}と\rho^f_{\beta+1}を次のよう…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf Iのdomainが全てI-cellについてk-smallであるようなcardinal kをとる。 ここでAがk-smallとは、任意のk-filterd ordinal \lambdaと\lambda-seq X_0 \to X_1 \to \cdot…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf lemma 2.1.13 Iの射のcoproductのpushoutはI-cell X \to Yが{g_\alpha}のpushoutとする。 coproductの添え字をordinalとみなして、順番にXとのpushをとったものを考え…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf lemma 2.1.11 \lambdaがordinalでX:\lambda \to Cが\lambda-seqであり（つまりcolimitを保ち）、X(\beta) \to X(\beta+1)はIのpushoutであるか同型であるとする。 こ…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf 濃度を何で気にするのかがよくわかっていないが、とりあえずsmall object argumentというのが大事でそこに必要らしいのでそれを見る。 The small object argument Cを…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf 濃度に関する議論をしておく。 Cがcat with all small colimitとし\lambdaをordinalとする。 - \lambda-seq in Cとはcolim-preserving functor X:\lambda \to Cのこと…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf stabel cat of modulesがcofibは単射、fibは全射、weはstable eqとしてmodel categoryの構造を持つことを示すために定理2.1.19を用いる。 まずこの圏が全てのsmall co…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf J-cofであることと単射でproj cokerが同値。 とくにJ-cofの元はstable equiv J-cofとは任意のJ-injに対してLLPを持つこと。 またJ-injは全射と同値。 i:A \to Bが単射…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf pがI-injであることとpが全射でinj kernelであることが同値。 とくにRがFrobeniusならtriv fibがI-injをなす。 I-injとはIに対するRLPを持つこと。 今の場合、f:M \to…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf RがFrobeniusのとき、pがtrivial fibrationであることとpが全射かつprojective kernelを持つことが同値であることを示す。 p:M \to Nが全射でker pがprojectiveである…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf まずfibrationであることとsurjectiveが同値であることを確かめる。 f:M \to Nがfibrationであるとは0 \to Rに対してRLPを持つこと。 これは0 \to M \to Nと0 \to R \…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf RをFrobenius ringとする。 IをRの左イデアルからの包含射a \to R全体の集合とし、Jを{0 \to R}とする。 R-modの射f:M \to NがfibrationとはJについてのright lifting…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf model categoryの例を見ていく。 RをFrobenius ringつまりprojectiveとinjectiveが同値になるような環とする。例えば有限群Gの体k上の群環k[G]を考える。 R-modの射f,…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf F:C \to Dをleft Quillen functorとする。 Fのtotal left derived functor LF:HoC \to HoDとはcofibrant replacement Q:C \to Ccが誘導するHoQ:HoC \to HoCcとFが誘導…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf model catの間の関手 - F:C \to Dがleft Quillen functorとはFがleft adjointでcofibとtriv cofibを保つこと。 - U:D \to Cがright Quillen functorとはUがright adjo…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf Cをmodel圏としCc, Cf, Ccfをそれぞれfibrant, cofibrant, fib and cofib obのなすfull sub catとする。 このときinclusionが圏同値HoCcf \to HoCc \to HoC, HoCcf \t…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf Cをwe W付きの圏とする。 これに対し圏C[W^{-1}]もしくはHoCをobがCと同じで、射がCの射とWの（形式的な）逆から生成されるものとする。 実際にはこのようにしたとき…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf The retract argument (lemma 1.1.9) f = piと分解しfがpに対してLLPを持つとする。このときfはiのレトラクト。 実際、id f = p iと見たときにあるhでhf = iとなる。(…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf prop 1.1.8 model cat CからC*にmodel strを入れる。ここでC*はptd objの圏、つまり終対象からの射* \to xのなす圏。 まずsmall limitとcolimitを持つかどうかについ…

まずはmodel圏の定義から。 圏Cのmodel strとは、Cの三つの部分圏と二つのfunctorial factorization (a,b), (c,d)で以下をみたすもの。それぞれweak equivalence, cofibration, fibrationと呼ばれる。 functorial factorization (a,b)とは関手a, b:MapC \to …

今日からHoveyのmodel categoryをさらっとやっていく。 https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf 続きは後で。

3単体の貼り合わせを考える。 (f,f,f)から(f,f)に移る二つの射で(f,f,f)で添え字づけられた3単体の二つの面は同一視される。 この時点で\pi_1がどうなるかがよくわからない。 3単体を貼り合わせても、fで添え字づけられた1単体から決まるループは自明になら…

まず0単体が1つ。 次にfで添え字づけられた1単体があり、これの両端の点は上の0単体に張り付く。 (f,f)で添え字づけられた2単体があり、頂点を0,1,2と番号づけると、これの三つの辺01, 02, 12はそれぞれ[1] \to [2]で各番号を抜く射で1単体からうつる。 この…

NCn = G^nであり、idが入っているものはNC(n-1)からの射でうつる。 これはNC(n-1) \times \Delta n \to NCn \times \Delta n \coprod NC(n-1) \times \Delta n-1で\Delta n-1に潰れる。 よってこの時点で生き残るのは各nごとにf^nという形の成分のみ。 これ…

昨日の計算の続き。 NC3 \times \Delta3の部分を計算する。 NC3のうちidを含むものはNC2からの射でうつるので、NC2 \times \Delta3 \to NC2 \times \Delta2に潰れる。 よって(f,f,f)で添え字づけられた成分を見ればよい。 これをNC3 \times \Delta2からの像…

C0={0}, C1={id0, f}とし、f.f=id0とする。このgeometric realizationを計算する。 昨日は1-simplexまで計算して、id0は1点に潰れS^1と同相になった。 2-simplexの部分を計算する。 NC2={(id,id),(id,f),(f,id),(f,f)}で、NC0 \to NC2はid \mapsto (id,id)で…

もっと簡単な圏から。 C0={0}, C1={id0}とする。 この時NC0={0}, NC1={id0}, NC2={(id0,id0)},...となる。 NCnは全て一点集合で、単体集合の射は全て同型射である。 NCn \times \Delta nは全て標準単体一つで、NC0 \times \Delta n \to NCn \times \Delta n…

昨日の続き。 C0 = {0 ,1}でC1={id0, id1, f, g}でf:0 \to 1とg:1 \to 0とする。 NC2にはf.gとg.fという元があり、これらはNC1からの像にならない。 NC2 = {f.id0, id0.id0, id1.f, g.f, id1.id1, g.id1, id0.g, f.g}であり、これらで添え字づけられた三角形…