Thom space in nLab Xを位相空間とし、V \to Xを主O(n)束P \to Xの随伴ベクトル束とする。これはXの実ベクトル束で各ファイバーに連続に内積が定まっているもので、これに関する正規直交枠束がP \to Xである。 D(V)を長さ1以下のベクトル全体のなすD^n-bundl…

https://faculty.math.illinois.edu/K-theory/0265/symm.pdf http://www.math.uni-bonn.de/people/schwede/SymSpec-v3.pdf symmetric spectrumの定義を見る。 まず対称群\S_nのptd sset S^n = (S^1)^nへの作用がsmash productの普遍性から定まる。 symmetric…

spectrumの定義を見る。 k>-2に対し[k]を全順序集合\{0,\ldots,k\}とする。[-1]=\emptysetである。 これら全体を対象とし、射は順序射にもつ圏を\Deltaとかき、\Delta上の前層をsimplicial setという。つまり関手\Delta^{op} \to Setのことを前層という。 \D…

adjoint functorの組(F:C \to D, U:D \to C)でFがUの左随伴になっているものがあればmonad Tを作ることができる。 T = UFとすると、自然変換\eta:1_C \to T = UFと\epsilon:FU \to 1_Dが定まり、積TT \to TはU\epsilonF:TT = UFUF \to U1_DF = Tとして定まり…

Lurieの [math/0702299] Derived Algebraic Geometry II: Noncommutative Algebra によると、monoidal catには同値な別の定義があって、そちらは\infty-catへの一般化に使うらしいので、その定義を見ていく。 \Deltaを対象を各整数n>-2に対して線形順序集合[…

module over a monad in nLab ここによると、一般のbicat Kに対してmonad t上のmoduleをt \in K(a,a)のx \in K(a,b)またはK(b,a)への作用、すなわち自然変換(tx \to x)として定める。 K=Catで1をterminal catとした時、K(1,a)への作用のことをt-algebraとい…

ptd objの圏はmaybe monad上の代数のなすEM catであり、このことからmonoidal strが定まるがこれがsmash prodらしい。 smash product in nLab maybe monad in nLab とりあえずbicategoryは射が圏ぐらいの認識で始める。 まずbicategory Kのmonadとはmonoidal…

spectrumについて基本的なことからやっていく。これがわかりやすいので読んでる。 https://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands/spectra/iss1.pdf 一般に終対象 * を持つ圏Cに対し、*/Cを点付き対象の圏と呼ぶ。 simplicial setの圏をSとかき、*/Sを点付…

\infty-catをやる前に普通の圏の話。 monoidal catとは圏 Cと関手\otimes:C \times C \to Cおよび特別な対象1 \in C、さらにこれらが満たすべき性質を自然変換として持っているもの。例えば1 \otimes xとxが同型になってほしいが、これを関手Id:C \to Cとx\m…

Toen-Vezzosiの [1710.05902] Trace formula for dg-categories and Bloch's conductor conjecture I を勉強する。 まずdg-catのtrace formulaというのを理解する。 Theorem 2.4.9ではl進実現に対する主張、そのあとのLemma 2.4.10が抽象的な状況での主張の…