Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf Mをptd spl model catとするとQuillen adunction \Sigma:M \to M:Omegaがある。 ここで\Sigma(X)はXのsuspensionすなわちX \otimes \partial \Delta^1 \to X \otimes \Delta^1とX \otimes \partial \Delta^1 …

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf regular pointed strong derivator Dに対してstab:D \to St(D)でtriangulated strong derivatorへのhocolimと可換な普遍射がある。 これはあるfull subderivator Spec(D) \subset D_Vの\Omega-spectraからな…

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf Nをptd, left proper, cpt gend model catとする。 特にfin gendであり、Iをgen cofivでそのcofibersの集合をGとすると、GはHo(N)のsmall weak generatorとなる。 SをNのhtpy fin presなobの間の射の集合とし…

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf MをQuillen model categoryで適切なcompact性をみたすとする。 つまりIをgenerating cogibにもち、Iの元のdomとcodomはcofibで\Aleph_0-cptかつ\Aleph_0-smallかつhtpy fin presとする。 そのようなMに対して…

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf h:M_f \to Fun(M_f^op, Sset)によるSの像を\Sigmaとする。 これによるFun(M_f^op, Sset)のleft Bousfield localizationをL_\Sigma(M_f^op, Sset)とかく。 h: M_f \to Fun(M_f^op, Sset) \to L_\SigmaFun(M_f^…

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf Mをmodel catとし、(\Gamma:M \to M^\Delta, i)をcosimplicial resolution functorとする。 つまり、任意のX \in Mに対し\Gamma(X) \in M^\DeltaがReedy model strでcofibrantで、i(X):\Gamma(X) \to Xがweで…

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf Hirschhorn https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/pshmain.pdf でmodel圏の話。in chapter 15 CがReedy categoryとはsmall cat Cとその二つのsub cat dCとiCで、それぞれobはobC…

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf 必要なmodel圏の話を Hirschhorn, https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/pshmain.pdf で補う。 Definition 3.1.1 in Hirschhorn Mをmodel catとしCをあるmapのclassとする。 MのC…

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf derived Kan extension Aをsmall catとし、Fun(A^op, Sset)をprojective model structureによるQuillen model categoryとする。つまりfibとweを各F_aがSsetのfibとweであるように定める。 関手h:A \to Fun(A^…

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf dg categoriesのuniversal localizing invariantを構成する。 dg catsとMorita eqのなすmodel cat dgcatからderivator HO(dgcat)を定める。 derivatorの射U_l:HO(dgcat) \to M^loc_dgで普遍性を満たすものを…

http://ambp.cedram.org/cedram-bin/article/AMBP_2003__10_2_195_0.pdf Theoreme 2.7 (M,W)をlocalsateurとし、A \in Diaについて(M(A),W_A,Fib_A,Cof_A)がmodel catで以下を満たすとする。 - 任意のA \in DiaについてMはA^opを図式とするlimitを持つ - 任…

http://ambp.cedram.org/cedram-bin/article/AMBP_2003__10_2_195_0.pdf Mを圏でsmall projective? limitを持つものとしたとき、Mが定めるprederivatuer A \mapsto Hom(A^op, M)はfaible a gaucheである。

http://ambp.cedram.org/cedram-bin/article/AMBP_2003__10_2_195_0.pdf Derivateur faible a gaucheとは - I, J \in Diaに対しD(I \coprod J) \to D(I) \times D(J)が同値になり、D(\empty)が一点と同値 - 任意のA \in Diaに対し、a \in Aにより定まるa^*:D…

http://ambp.cedram.org/cedram-bin/article/AMBP_2003__10_2_195_0.pdf DをprederivatorとしてDiaの関手u:A \to Bの定める関手u^*:D(B) \to D(A)に対し、その右随伴u_*:D(A) \to D(B)をcohomological direct imageといい、左随伴u_!:D(A) \to D(B)をhomolog…

http://ambp.cedram.org/cedram-bin/article/AMBP_2003__10_2_195_0.pdf diagramのなす2-categry DiaとはCatのfull sub 2-catで D0: 空、1点、{0 \to 1}はDiaに含まれる D1: 有限和とファイバー積で閉じる D2 u:A \to B in Diaとb \in BについてA/bとb\AはDi…

http://ambp.cedram.org/cedram-bin/article/AMBP_2003__10_2_195_0.pdf まずintroから。 Aをsmall categoryとしComp(A)をA上のabel群のcomplexのpresheafの圏とする。 u:A \to Bに対し逆像u^*:Comp(B) \to Comp(A)は右随伴u_*:Comp(A) \to Comp(B)を持つ。 …

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf CH(R)のmodel strを二つ Theorem 2.3.11 IをJをとし、Iがgenerateing cofib, Jがgenerating triv fibであるようなmodel strが定まる。fibrationはsurj Theorem 2.3.13…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf prop 2.3.5 p:X \to Yがtrivial fibであることとI-injであることが同値。 I-injとはすべてのS^{n-1} \to D^nにRLPをもつこと。 Lemma 2.3.6 AがcofibrantならA_nがす…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf Ch(R)のobj S^n(M)をn次のみにMなる複体、D^n(M)をn次とn-1次にMでd=0なる複体とする。特にM=RをS^n, D^nと略記する。 IをS^{n-1} \to D^n全体、Jを0 \to D^n全体とし…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf Rを環とする。 definition 2.3.3 S^nMをdeg nにのみMを持つcpxとしD^nMをdeg n, n-1にのみMを持ちd=idなるcpxとする。特にM=RのときS^n, D^nと略記する。 IをS^{n-1} …

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf example 2.1.6 Rを環としR-modがsmallであることを示す。 AをR-modとし、¥kappaを¥abs{A}(¥abs{A} + ¥abs{R})とする。 ¥lambdaを¥kappa-filtered ordinalとしXを¥lamb…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf Rを環としCh(R)をleft R-modのchain cpxの圏とする。 lemma 2.3.2 全てのCh(R)のobはsmallである。また全てのbounded cpx of fin pred R-modはfinite まずR-modがsmal…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf Thm 2.1.19 Cがcat with small colim & limでWがCのsub catでI, Jをsets of mapsとする。 このときCのcofib gen model strでIがgen cofib, Jがgen triv cofibでWがwe…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf Lemma 2.1.21 Cがcofibrantly generated model catの時、C*もそうである。 I, JをCのgenerating cofibとgen triv cofibとする。 このときI+, J+つまりf:X ¥to Yから誘…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf 昨日の続きでFがtrivial cofibrationを保つことを確かめる。 まずF(J-cof) \subset FJ-cofであることをみる。 これについては昨日と同様にlemma 2.1.8からわかる。 次…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf (F,U,\phi):C \to Dがmodel catの間のadjunctionでCがcofibrantly generatedでIがgenerating cofibでJがgenerating triv cofibとする。 このとき(F,U,\phi)がQuillen…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf proposition 2.1.16 Cは全てのsmall colimitをもち、IをCの射の集合とする。Iの元のdomainはsmall relative to I-cellでAはCの対象でsmall relative to I-cellとする…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf cor 2.1.15 IがCの射の集合でCは全てのsmall colimitを持つとする。また、Iの元のdomainはsmall relative to I-cellとする。つまり、I-cellのsmallな\lambda-seq Xに…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf model cat Cがcofibrantly generatedとはmapのset I, Jがあって、 - Iの射のdomainはsmall relative to I-cell - Jの射のdomainはsmall relative to J-cell - fibrati…

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf \delta(f)がIに対してRLPを持つことを確かめる。 Iの射g:A \to Bと(g:A \to B) \to (\delta(f):colim Z^f \to Y)をとる。 定理の仮定からAはsmall relative to I-cell…