http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf 一般コホモロジーとスペクトラム。 Thomによるコボルディズム。 コボルディズム類の集合N_nは安定ホモトピー\pi^s_nTOに同型。 ここでTO(q)はEO(q) \to BO(q)のThom空間。 またベクトル束の直和に対…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf CW複体とホモトピーを扱うためのよい圏を作る。 よい圏とは？ - 三角圏（ホモトピー、ホモロジーの長完全列） - 加法圏 - 対象モノイダル圏（スマッシュ積） など Boardman, Whitehead, Spanier, Ad…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf stable homotopy groupとは、 \pi_n^s(X) = \lim_N \pi_{n+N}(S^N \wedge X) のこと。 topological invarianとS^1 \wedge との関係について。空間レベルで、このような性質を持つ圏を構成したい。 s…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf Xをproper simplicial spaceとし、k_*をhomology theoryとする。 各qについてk_q(X)はsimplicial abelian groupであり、d=\sum(-1)^id_iによりこれを複体とみなすことにより、ホモロジーH_*k*(X)をH_pk_q(…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf SUのcelluar objectとは、各X_qがCW複体で、d_i, s_jがcellular mapであること。 Theorem 11.5 geometric realizationと直積は交換する。 Theorem 11.12 n>=0とする。Xがstrictly properでX_qがn-q連結な…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf Uをcompactly generated Hausdorff spaceの圏とする。 SUの対象Xのgeometric realizationとはX_q \times \Delta_qの直和の次の同値関係に夜商。 - (x,u) \in X_q \times \Delta_{q-1}の像(d_ix,u)と(x,d_i…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf Uがmonoidalかつabelianとする。 SUの対象はUの複体をd=\sum(-1)^id_iにより定める。 さらにhがSUのfとgのホモトピーであるとき、s=\sum(-1)^ih_iはfとgの複体のホモトピーとなる。つまりds+sd=f-gである。…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf Uをmonoidal catとしGをそのmonoid objectとする。 G-objとはG \otimes X \to X付きのUの対象で適切な可換図式を満たすもの。 これはmonad GについてのG代数と同じ。 (Y,G,X)をGがUのmonoidでYがleft G-ob…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf D=\Lambda\Sigmaの場合を考える。ここで\Lambda:V \to Tと\Sigma:T \to Vは随伴。特にa:C_n \to \Omega^nS^nであればこれはC_nのdeloopingを考えることになる。 Theorem 9.11 a:C \to \Lambda\SigmaをTの…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf モナドの射a:C \to Dとして典型的にはA_\infty-operadのaugmentation \epsilon:C \to MまたはCをE_\infty-operadに付随するモナドとしてa_n:C_n \to \Omega^nS^nを考える。 Theorem 9.10 a:C \to DをTのモ…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf B_*(C,C,X)はXのsimplicial resolutionになっている。 つまり、CをTのモナドとしXをC代数とする。 このとき、\epsilon:B_*(C,C,X) \to X_*と\eta:X_* \to B_*(C,C,X)が定まり、\epsilon\eta=1である。 h:B…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf 圏T, Vに対して、圏B(T,V)と関手B_*:B(T,V) \to STを以下で構成する。 まずB(T,V)の対象は三つ組(F,C,X)であってCはTのmonadであり、FはC関手T \to Vで、XはC代数。 つまり、 - Cは関手C:T \to Tと自然変…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf (C,\mu,\eta)をTのモナドとすると(C_*,\mu_*,\eta_*)はSTのモナドであり、S(C[T])とC_*[ST]は一致する。 Tのモナド(C,\mu,\eta)に対し、C関手(F,\lambda)とは関手T \to Vと自然変換\lambda:FC \to Fであっ…