http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf
圏T, Vに対して、圏B(T,V)と関手B_*:B(T,V) \to STを以下で構成する。
まずB(T,V)の対象は三つ組(F,C,X)であってCはTのmonadであり、FはC関手T \to Vで、XはC代数。
つまり、
- Cは関手C:T \to Tと自然変換\mu:C^2 \to C, \eta:1 \to Cの組、
- Fは関手F:T \to Vと自然変換\lambda:FC \to F
- XはTの対象Xと射\zi:CX \to X
射(F,C,X) \to (F',C',X')は
- monadの射\phi:C \to C'
- F'を\phiで引き戻したC関手\phi^*F'へのFからの射\pi
- X'を\phiで引き戻したC代数\phi^*X'へのXからの射f
次に関手B_*を定める。
まずB_q(F,C,X) = FC^qXとし、d_iとs_jを定める。
- d_0=\lambda(C^{q-1}X):FC^qX \to FC^{q-1}X
- d_i=FC^{i-1}\mu(X):FC^qX \to FC^{q-1}X
- d_q=FC^{q-1}\xi(X):FC^qX \to FC^{q-1}X
- s_j=FC^j\eta
射の対応はf:X \to \phi^*X'と\pi\phi^q:FC^q \to F'(C')^qの合成から得られる\pi\phi^qf:FC^qX \to F'(C')^qX'で定める。
これにより関手B(T,V) \to STが定まる。
