2-limit in nLab 2-equalizer Kの0-cell A, Bと1-cell f, g:A \to Bについて、そのequalizerとは0-cell Eと1-cell e:E \to A及び可逆な2-cell \phi:ef \to egの組で、普遍性を満たすもの - 0-cellに対する普遍性。 任意の0-cell X, 1-cell h:X \to A及び可逆…

2-limit in nLab 2-pullbackについて Kの1-cell f:A \to Cおよびg:B \to Cに対してそのpullbackとは、 0-cell A \times_C Bおよび1-cell p:A \times_C B \to A, q:A \times_C B \to B、2-cell \phi:fp \cong qgであって、以下の条件を満たすもの。 - 普通の…

昨日の2-pullbackの計算は、2-limitについて理解してから改めて考える。 というわけで、 2-limit in nLab ひとまず例を見てみると、Kを2-categoryとし、A, BをKのobjectとする。 この時Kの対象A \times Bと自然同値K(X, A \times B) \to K(X, A) \times K(X,…

昨日の続き。 F:C \to Catをpseudofunctorとする。 これからfibration \int F \to CをCat_{*,l} \to CatのFでの2-pullbackとして定義する。 2-pullbackの定義はとりあえず2-categoryの圏でのpullbackとして適当に理解することにする。 - 0-cellは0-cellのpul…

昨日の逆をやる。つまりpseudofunctorからfibrationを作る話。 Grothendieck construction in nLab ここの説明によるとlax-pointed categories Cat_{*,l} \to CatのF:C \to Catによる2-pullbackのことらしい。 これをもう少し詳しく見ていく。 まずlax-point…

Grothendieck fibration in nLab fibrationとpseudofunctorの関係について。 p:E \to Bがfibrationとする。 B^opをどのようにbicategoryとみなすかだが、射の集合を射が一点のみの圏とすればよさそう。 これに対しpseudofunctor P:B^op \to Catを - 0-cellの…

Eilenberg-Watts theorem in nLab pseudofunctorの例として以下のようなものを考える。 algebraとbimoduleのなすbicategoryからCatへのpseudofunctorを - 0-cellの対応としては、R-algebra xに対してx上の加群の圏Mod_xを対応させる - 0-cell x, yに対して、…

pseudofunctor in nLab bicategory C, Dの間のpseudofunctor Pとは - 0-cellの対応x \mapsto P_x - 関手P_{x,y}:C(x,y) to D(P_x, P_y) - 0-cell xに対して可逆な2-cell P_{1_x}:id_{P_x} \to P_{x,x}(1_x) - 0-cell x, y, zに対してf:x \to yとg:y \to zに…

もう一つbicategoryの例としてalgebraとbimoduleのなすbicategoryを見る。 Rを可換環としA, BをR-algebraとする。 これに対しA-B-bimoduleとは、A^op \otimes_R B-algebraのこと。 次はbicategoryをなす。 - 0-cellとしてR-algebra - 0-cell x, yに対して1-c…

bicategoryの例としてsmall categoryのなす圏Catがある。 実際にはこれはstrict 2-categoryになっている。 Cat in nLab - 0-cellはsmall categoryたち - 1-cellはsmall cat x, yの関手の圏で対象は関手x \to yであり、2-cellは自然変換 - 恒等射は恒等関手id…

bicategoryとpseudofunctorについて bicategory in nLab pseudofunctor in nLab 書こうと思ったが大変なので適当に。 まずbicategoryとは次のようなデータからなる。 - 0-cellもしくは対象と呼ばれるものの集まりx, y, \ldots - 0-cell x, yに対し圏B(x,y)が…

しばらく Grothendieck fibration in nLab あたりの記事を読んでいく。 関手p:E \to Bを考える。 Eの射\phi:e' \to eがcartesianとは任意の\psi:e'' \to eおよびg:p(e'') \to p(e')であってp(\psi)=p(\phi)gなるものに対し、\chi:e'' \to e'であって\psi=\ch…

unaoya-epsilon.hatenablog.com ここに書いたmonoidal categoryの定義について、改めてみていく。 圏Dから\Delta^{op}への関手を考える。これが適当な条件を満たすとき、普通の意味でのmonoidal categoryを定めることができる。 例えばDの対象をvector space…

圏\Sigmaを対象が非負整数nに対する集合\{1,2,\ldots,n\}全体で、射が\Sigma(n,n)は対称群\Sigma_nでn \neq mに対しては空集合とする。 symmetric sequenceとは関手\Sigma \to S_*のこと。 つまり各nごとにsimplicial pointed set X_nとそこへの\Sigma_n作用…

commutative k-alg AとA-mod M, NについてN \otimes_A Mとcoeq(N \otimes_k A \otimes_k M \to N \otimes_k M)は同型になる。 ここでcoeq(N \otimes_k A \otimes_k M \to N \otimes_k M)は(x, a, y) \mapsto (ax, y)と(x, a, y) \mapsto (x, ay)のcoequalize…

Gを群とする。これを対象が一点*で、射がGである圏とみなす。つまり射の合成が群の積。 圏Cに対しC^DでDからCへの関手の圏と定める。対象はDからCへの関手で、射は自然変換である。 つまり関手F, F':D \to Cに対し、その間の射はd \in Dで添え字づけられた族…

HSS 2 - epsilon の続き。 symmetric spectraの圏Sp^\SigmaがS_*-enriched categoryであることは上に書いたが、さらにtensoredであることを見る。 改めてS_*-enriched categoryの定め方を書くと、x, y \in Sp^\Sigmaに対してMap(x,y) \in S_*を Map(x,y)(n)=…

一つ前の記事 pointed simplicial set 3 - epsilon がおかしなことを書いていたので改めて Cを終対象*とcolimitを持つ圏で、*/Cをpointed objの圏とする。 このときX:I \to */Cに対しcolim XはFXと*からなる図式のcolimitをCでとって*から誘導される射で*/C…

unaoya-epsilon.hatenablog.com 変なこと書いてるので、上で訂正した。 pointed simplicial setは\Delta[n]_+のcolimitでかけるかどうか。 Setへの忘却関手を合成すると、表現可能関手\Delta[n]のcolimitでかける。 このcolimtに*を直和してcolimitをとれば(…

\Deltaを線形順序集合[n]を対象にもち、順序射が射である圏とする。 Sをsimplicial setの圏、すなわち\Delta上の前層の圏とする。 pointed simplicial setの圏S_*は、pointed setに値を持つ\Delta上の前層であり、simplicial set上の前層の圏の終対象*の下に…

HTTのappendix 1.4. Cをright-closed monoidal categoryとする。 すなわち任意のa \in Cに対し関手-\otimes a : n \maspto (n \otimes a)に右随伴(-)^a : y \mapsto y^aが存在する。 DをC-enriched categoryとする。 この時c \in Cとx \in Dを用いて関手D \t…

symmetric spectraの圏Sp^\Sigmaのsimplicial structureについて。 symmetric spectra X, Yに対して、pointed simplicial set Map(X,Y)を定義できる。 つまりMap(X,Y)はS_*の対象。 これはn \mapsto Sp^\Sigma(x \wedge \Delta[n]_+, y)とすればよい。 これ…

しばらく[HSS]を読む。 S_*でpointed simplicial set (ptd sset)の圏を表す。 以前に書いたように、これはptd set上の前層の圏と思っても、ssetの終対象 * からの射とssetの組と思ってもよい。 S_*はsmall limitとsmall colimitをもつ。 これはSが前層の圏で…

pointed setのlimitとcolimitについて F:I \to Sets_*に対し、忘却関手p:Sets_* \to Setsとの合成のlimitで(lim pF) \in Setsが定まる。普遍性から* \to (lim pF)が定まり、これが(lim F)の普遍性をみたす。 実際Setsでの普遍性からSetsの射が定まり、普遍性…

Cを小圏としPsh(C)をC上のSet値を持つ前層の圏とする。 Psh(C)でのlimitは各点でlimitを取ればよい。 つまり(\lim_IF_i):x \mapsto \lim_IF_i(x)と定めればよい。 特にFとGの直積は(F \times G)(x)=F(x) \times G(x)で定まる。 一方presheaf G, Hのexponenti…

Cを小圏とし、PをSetに値を持つ前層C^o \to Setsとする。 このときPは表現可能関手の余極限である。 これを証明する。 Pの元の圏\int_CPを次で定義する。 対象は(c,x)でCのob cとPcの元xの組。 射(c,x) \to (c',x')はCの射c \to c'でx'|_c=xなるもの。 P = c…

ptd ssetはptd set上のsimplicial objectすなわちptd setに値を持つ\Delta上の前層の圏と同じもの。 実際、ssetの圏における終対象*は一点に値を持つ前層でこれは[0]が表現する関手。 sset Xに対してこの前層*からの射* \to Xがあれば、全てのnについて* \to…

symm. spectrumの圏Sp^\SigmaにはHomにssetの構造を入れることができる。 さらにptd ssetの圏S_*のmonoidal圏としての作用が定まる。 まずE, Fがsym. spec.の時、Hom(E,F)_n = Sp^\Sigma(E\wedge \Delta[n]_+, F)とすることでsimplicial setの構造が定まる。…

EO(n) \to BO(n)を普遍主O(n)束とし、EO(n) \times_{O(n)} \R^n \to BO(n)を随伴ベクトル束とする。 普遍性からBO(n) \to BO(n+1)上の射(EO(n) \times_{O(n)} \R^n) \oplus \R \to (EO(n+1) \times_{O(n+1)} \R^{n+1})が定まる。 これのThom spaceを取れば\s…

コンパクトなn次元多様体Mをユークリッド空間R^{n+k}に埋め込み、その法束をN \to Mとする。 このThom空間Th(N)にはS^{n+k}からの写像が次のように定まる。 S^{n+k}を\R^{n+k}の無限遠点を付け加えることによる一点コンパクト化とみなす。 Mの\R^{n+k}への埋…