Cを小圏とし、PをSetに値を持つ前層C^o \to Setsとする。
このときPは表現可能関手の余極限である。
これを証明する。
Pの元の圏\int_CPを次で定義する。
対象は(c,x)でCのob cとPcの元xの組。
射(c,x) \to (c',x')はCの射c \to c'でx'|_c=xなるもの。
P = colim_{\int_CP}h_cであることを証明する。
ここでh_cはcが表現する前層C^o \to Set; x \mapsto Hom_C(x,c)で、
射h_c \to Pはxにより以下のように定まる射(c,x):h_c \to P
x \in Pcでd \in Cに対しh_c(d) \to P(d)をf:d \to cからf^*x \in Pdとして定めればよい。
あとで使うように、これは逆の対応も与える。
つまり、射f:h_c \to Pから(c,x) \in \int_CPが定まる。
実際、id_cの行き先をx \in Pcとすればよい。
さて、Pが上の余錐に対する普遍性をみたすことを確かめる。
そのようなQをとり、P \to Qが定まればよいが、
上のようにh_c \to Qから定まる元を(c,x) \in Qcと書くと、
Pc \to Qcをx \mapsto (c,x)で定めることでP \to Qが定まる。
http://www.andrew.cmu.edu/course/80-413-713/notes/chap08.pdf
proposition 8.10
