Cを小圏としPsh(C)をC上のSet値を持つ前層の圏とする。
Psh(C)でのlimitは各点でlimitを取ればよい。
つまり(\lim_IF_i):x \mapsto \lim_IF_i(x)と定めればよい。
特にFとGの直積は(F \times G)(x)=F(x) \times G(x)で定まる。
一方presheaf G, Hのexponential G^HはPsh(C)(F,G^H)=Psh(C)(F \times G, H)をみたす前層であるので、次のように定義する必要がある。
G^H(x) = Psh(C)(h_x, G^H) = Psh(C)(h_x \times H, G)
最初の等号は米田から、次の等号は上の条件から。
このように定めると、任意の前層FについてPsh(C)(F,G^H)=Psh(C)(F \times G, H)をみたす。
実際、昨日見たように前層は表現可能関手のcolimitとして書くことができ、
Psh(C)(F, G^H) = Psh(C)(colim_I h_{x_i}, G^H) = colim_I Psh(C)(h_{x_i}, G^H)
= colim_I Psh(C)(h_{x_i} \times H, G) = Psh(C)(colim_I (h_{x_i} \times H), G)
= Psh(C)((colim_I h_{x_i}) \times H, G) = Psh(C)(F \times H, G)
となる。
ここでcolimと\timesが交換することを使った。
