Gを群とする。これを対象が一点*で、射がGである圏とみなす。つまり射の合成が群の積。
圏Cに対しC^DでDからCへの関手の圏と定める。対象はDからCへの関手で、射は自然変換である。
つまり関手F, F':D \to Cに対し、その間の射はd \in Dで添え字づけられた族\{f(d):F(d) \to F'(d)\}_dであって、任意のDの射g:d_1 \to d_2に対してf(d_2)F(g)=F'(g)f(d_1)となるもの。
特にD=Gとした時、C^Gの対象は組(x,a)でxはCの対象でaはxへのGの作用、すなわちモノイド準同型a:G \to C(x,x)。
この時(x,a) \to (y,b)はCの射f:x \to yであって任意のg \in Gに対してfa(g)=b(g)fを満たすもの。
つまりG同変な射f:x \to yのこと。
例えばC=Vect/kをk上のベクトル空間の圏とすると、C^GはGの表現のなす圏である。
つまり、対象がベクトル空間Vとその上の自己同型群への準同型\rho:G \to Aut_k(V)で、\rho_1と\rho_2の間の射は線形写像\rho_1(*)=V \to \rho_2(*)=WであってG同変なもの。
Cをsimplicial setの圏Sとした時にS^GをG-simplicial setといい、C=S_*とした時にS_*^Gをpointed simplicial setという。
