の続き。
symmetric spectraの圏Sp^\SigmaがS_*-enriched categoryであることは上に書いたが、さらにtensoredであることを見る。
改めてS_*-enriched categoryの定め方を書くと、x, y \in Sp^\Sigmaに対してMap(x,y) \in S_*を
Map(x,y)(n)=Sp^\Sigma(x \wedge \Delta[n]_+, y)))
とすることで定める。
すると、S_*(z, Map(x,y)) = Sp^\Sigma(x \wedge z, y)が成り立つ。
これはz=\Delta[n]_+なら定義で、一般にはこれのcolimitでかけるからよい。
tensoredの定義はHTTにある通りでC-enriched category DがC-tensoredとは
任意のc \in C, x \in Dについてあるc \otimes xが存在し、Map(x,-)^c=Map(x \otimes c, -)となること。
Sp^\SigmaがS_*-tensoredであることを確かめる。
x, y \in Sp^\Sigmaとc \in S_*に対し、S_*の対象Map(x,y)^c及びMap(c \wedge x,y)の[n]での値をみると、
S_*(c \wedge \Delta[n]_+, Map(x, y))とSp^\Sigma(x \wedge c \wedge \Delta[n]_+, y)であるが、これは上で見たように一致する。
これらはHSSのprop1.3.1, prop1.3.2に書いてある。
