Cをsmall categoryとする。
Cのsimplicial nerve N(C)とはsimplicial setで0以上の整数nに対し、全順序集合[n] = \{0, 1, ..., n\}を圏と見なしたものからCへの関手のなす集合を定めるもの。
例えばMをmonoidとし、1点からなる圏で射がMであるものをBMと書く。
これに対し、N(BM)はどのようになるか。
N(BM)_0 = *, N(BM)_1 = M, N(BM)_2 = M^2であり、これらの間の射としては[1] \to [0]に対し単位元を与える射* \to Mが定まり、[0] \to [1] の二つの射からM \to *が定まる。
[2] \to [1]に対しては、全射なものとして1 \mapsto 1のものと1 \mapsto 0のものがあるが、前者はM \to M^2として第一成分への埋め込み、後者は第二成分への埋め込みを定める。
[1] \to [2]に対しては、単射なものとして像に0を含まないもの、1を含まないもの、2を含まないものの3つがあるが、それぞれM^2 \to Mとして第二成分の射影、積、第一成分の射影を定める。
今日はここまで。
