adjoint functorの組(F:C \to D, U:D \to C)でFがUの左随伴になっているものがあればmonad Tを作ることができる。
T = UFとすると、自然変換\eta:1_C \to T = UFと\epsilon:FU \to 1_Dが定まり、積TT \to TはU\epsilonF:TT = UFUF \to U1_DF = Tとして定まり、これがmonoid strを与える。
maybe monadであれば Setから*/Setへの関手(x \mapsto (* \to x \coprod *))と*/SetからSetへの関手((* \to x) \mapsto x)が随伴になっていて、これの合成がmonadを与える。
自明な圏1からSetへの関手aに対して、monadの作用を考えると、t-algが得られる。
maybe monadの場合には、aは単に集合xを指定することに対応し、自然変換ta \to aは写像(x \coprod *) \to xを与えることになり、また1 \to t \to 1があるから、x \to xはidで、これは(* \to x)を誘導する。このようにしてt-algの圏と点付き集合の圏が対応する。
monoidal catのなす2-categoryでのmonadをmonoidal monadという。
