basic complex line bundle on the 2-sphere in nLab
basic line bundleをHで表す。
これはS^1 \to C^\times z \mapsto zで貼り合わせたもの。
H \oplus H = (H \otimes H) \oplus 1となる。
貼り合わせ関数のホモトピーを作る。
左辺はz \mapsto zE_2 \in GL(2,C), 右辺はz \mapsto diag(z^2, 1)が貼り合わせ。
ホモトピーは\gamma:[0,1] \to GL(2,C)を\gamma(0)=E_2, \gamma(1)=(0 1\\ 1 0)を適当につなぎ、S^1 \times [0,1] \to GL(2,C) (z,t) \mapsto diag(z,1)\gamma(t)diag(1,z)\gamma(t)とすれば良い。
実際\gamma(1)diag(1,z)\gamma(1)=diag(z,1)となるので、これが左辺から右辺へのホモトピーを定める。
