http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf
operadの例としてA_\inftyとE_\inftyを見る。
まずdiscrete operad MとNを定義する。
M-spaceはtopological monoidであり、N-spaceはcomm top monoidであるようなもの。
M(j)=\Sigma_jで\gammaを文字を順番に繋げた置換を最初の成分で並び替えて得られる作用とする。
N(j)を一点{f_j}とし、\Sigmaを自明に作用させる。
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圏Tのmonad (C, \mu, \eta)とは関手C:T \to T, 自然変換\mu:C^2 \to C, \eta:1 \to Cであって、\mu(X)C\eta(X)=\mu(X)\eta(CX)=\id_(CX)と\mu(X)\mu(CX)=\mu(X)C\mu(X)を満たすもの。
monad C上のalgebra(X, \xi)とは、X \in Tと\xi:CX \to Xであって、\xi\eta=\id_Xと\xi\mu=\xiC\xiが成り立つもの。
operadからmonadを作る。
CXを\coprod (C(j) \times X^j)/~で同値関係を
- (\sigma_ic,y) ~ (c, s_iy)
- \sigmaを対称群の元として(c\sigma,y) ~ (c,\sigma y)
で定める。ここで、s_i:X^{j-1} \to X^jをi成分を点にして、他を恒等射、\sigma_iを\sigma_ic=\gamma(c,s_i)で定める。
\muや\etaも適切に定める。
またこの対応でC-spaceとC-algebraも対応する。
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Operadとはj>=0に対して、空間C(j)が定まっており、C(0)は点でさらに
- 連続写像\gamma:C(k) \times C(j1) \times \cdots \times C(jk) \to C(j)でj=sum(j_i)であり、複雑な結合法則を満たす
- 1 \in C(1)が存在し、\gamma(1,d)=dと\gamma(c,1,\ldots,1)=cを満たす
- 対称群が作用する
点付き空間Xのendomorphism operad E_Xとは、E_X(j)=Map(X^j \to X)で、
- \gamma(f,g_1,\ldots,g_k)=f(\prod g_i)
- 1=id_X
- (f\sigma)(y)=f(\sigma y)
で定める。
operad Cの空間Xへの作用とはC \to E_Xなるoperadの準同型のこと。
これらをC-spaceといい、C-spaceの圏をC[T]と書く。
http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf
\tau関数の例
p_1,\ldots,p_mを0でない絶対値1未満の複素数とし、p_i^2が相異なるとする。
\lambda_1,\ldots,\lambda_mを0でないとする。
W=W_{p,\lambda}を単位円盤の原点以外で正則で原点でたかだかm位の極をもち、f(-p_i)=\lambda_if(p_i)を満たす関数たちの空間の閉包とする。
これに対する\tau_Wを計算する。
まずA:H_+ \to H_-でグラフがW_{p,\lambda}となるものを求める。
f \in H_+に対してA(f)=\alpha_1(f)z^{-1}+\cdots+\alpha_m(f)z^{-m}であって、
f+A(f) \in W_{p\,lambda}であることが条件。
W_{p,\lambda}の定義から、各\alpha(f)は\beta_i(f)=1/1(\lambda_i^{1/2}f(p_i)-\lambda_i^{-1/2}f(-p_i)}の一次結合である。
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\tau-function
W \in Grに対して、Wの\tau-function \tau_Wとは、正則関数\Gamma_+ \to Cであって、
\tau_W(g)=\sigma(g^{-1}W)/g^{-1}\delta_Wで定まるもの。
\delta_Wはfibre (Det^*)_Wのある0でない元であり、\sigmaはDetのdual Det^*の正則大域切断であって\sigma(W) = (w, \det w_+)で定まるもの。
ここでwはWのadmissible basisである。
Det^*のWでのfiberは(w,\lambda)でwはWのadm basis, \lambda \in Cの形の同値類とみなせる。
同値関係はQの作用から定まり、Det^*にはGL_1^が作用する。
\sigma(W)は直交射影W \to H_+のdeterminantとみなすことができ、\sigma(W)=0であることと、WがH_-の横断的でないことが同値。
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C^\times \to GL_1^ \to GL_1(H)^0は非自明なfiber bundleである。
つまり切断を持たず、また拡大は連続コサイクルで記述できない。
GL_1^reg \subset GL_1(H)^0をaが可逆な元のなす部分群とすると、E \to GL_1(H)^0のGL_1^regへの制限はs(g) = (g,a)により切断が定まる。
これに対応するコサイクルは(g_1,g_2) \mapsto det(a_1a_2a_3^{-1})である。
ここでa_3はg_3=g_1g_2の++成分。
さらに上三角部分群GL_1^+に制限すると、sは群の埋め込みGL_1^+ \to Eになり、これをDetの自己同型のなす群とみなせる。
下三角部分群GL_1^-も同様で、\Gamma_+, \Gamma_-をS^1 \to C^\timesのなす群とすると、これらはGL_1^{+-}の部分群であり、Detに作用する。
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GL_1がadm basisにどのように作用するかをみる。
GL_1(H)^0 \times GL(H_+)の部分群Eを(g,q)であって、aq^{-1}-1がtrace classであるようなもののなす部分群とする。
このEに(g,q) \maspto (g,q,aq^{-1}-1)でGL_1(H) \times GL(H_+) \times {trace class作用素}に埋め込んで位相を誘導する。
(g,q)w = gwq^{-1}と作用することで、admissible basisの空間に作用し、これによりDetへの作用が定まる。
Q \to E \to GL_1(H)という完全列が存在し、Q_0 \subset Qをdet=1の部分群とするとこれはDetに自明に作用するから、E/Q_0=GL_1^がDetに作用する。
これが以前に与えたQ/Q_0=C^\timesによるGL_1(H)^0の拡大を与える。
