Grothendieck fibration in nLab
fibrationとpseudofunctorの関係について。
p:E \to Bがfibrationとする。
B^opをどのようにbicategoryとみなすかだが、射の集合を射が一点のみの圏とすればよさそう。
これに対しpseudofunctor P:B^op \to Catを
- 0-cellの対応をb \in B^op \mapsto E_b=p^{-1}(b)として定める。
ここでE_bは対象がEの対象でpでbにうつるものたち、射がpで1_bにうつるものたちからなる圏。
- 0-cell x, y in B^opに対し、関手p_{x,y}:B^op(x,y) \to Cat(E_x, E_y)を定める。
これはまずB^op(x,y)の対象はBの射f:y \to xであり、これに対して関手E_x \to E_yを定める必要がある。
これは、pがfibrationだからE_xの対象eとf:y \to x=p(e)に対しcartesianな射g:e' \to eでp(g)=fなるものが存在する。このようなものをあらかじめ選んでおくことでpseudofunctor Pを定めることができる。
逆向きの対応はGrothendieck constructionと呼ばれる。
これについてはまた明日以降書くことにする。
