homotopy limitの話に入る前に、もう一度Kan extとcoendの関係についてしばらく整理する。
以前に前層が表現可能関手のcolimtでかけることをやったが、それと同様の考え方でleft Kan extをcolimitを使って具体的に構成できる。
K:M \to C, T:M \to Aに対し、Lan_KT:C \to Aを(Lan_KT)cに対して次の関手K/c \to Aが定める図式のcolimitを対応させることで定める。
まずK/cはMの対象mと射f:Km \to cの組(m,f)のなす圏とする。
忘却関手U(c):K/c \to MとTの合成によりK/c \to Aを定め、これのcolimit TU(c)を考える。
自然変換\eta:T \to (Lan_KT)Kは、Tm \to colimTU(Km)を自然に定めることになるが、colim TU(Km) =Tmとなり、上を恒等写像にすればよい。
左Kan拡張の普遍性は関手V:C \to Aと自然変換\xi:T \to VKに対するものなので、上の構成がこの普遍性を持つか考える。
