https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf
Rを環としCh(R)をleft R-modのchain cpxの圏とする。
lemma 2.3.2
全てのCh(R)のobはsmallである。また全てのbounded cpx of fin pred R-modはfinite
まずR-modがsmallであることをみる。
example 2.1.5
全てのsetはsmallである。
Aをsetとし、¥kappaをAの濃度とする。
¥lambdaを¥kappa-filtered ordinalとし、Xを¥lambda-seqとする。
f:A ¥to colim Xとしたとき、a ¥in Aに対してf(a) ¥in X_¥beta_aとなる¥beta_aが見つかる。
¥lambdaは¥kappa-filteredなので¥gamma = sup ¥beta_a<¥lambdaであり、fはX_¥gammaを経由する。
またA ¥to X_¥betaとA ¥to X_¥gammaがcolim Xにいって一致するとする。
上と同様に各a ¥in Aごとに適当なX_¥beta_aで一致し、それらのsupを取ればそこでA ¥to X_supが一致することがわかる。
この二つからcolim(A,X)に全単射であることがわかり、smallであることがわかる
