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\Omega^nX=\Hom_T(S^n,X)とみなす。
スマッシュ積により\Omega^mX \times \Omega^nY \to \Omega^{m+n}(X \wedge Y)が定まる。
loopの積（ホモトピーの積を定めるもの）との間で分配法則が成り立つ。
つまりf1f2 \wedge g=(f1\wedge g)(f2 \wedge g)となる。
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近似定理
Xをコンパクト生成ハウスドルフ空間とする。
n >= 1に対して、C_nXを含む空間E_nXと\pi_n:E_nX \to C_{n-1}SX及び\tilde{\alpha}_n:E_nX \to P\Omega^{n-1}S^nXが存在して、
CnX \to EnX \to C(n-1)SXと\OmeganSnX \to P\Omega^{n-1}S^n \to \Omega^{n-1}S^nXの列の射を定める。
n=1の時はC0SX=SXであり、\alpha_0は恒等写像。
EnXは可縮で、連結なXに対して\pi_nはquasi-fibrationでファイバーがC_nXである。
したがって\alpha_nは弱ホモトピー同値、つまりホモトピー群に同型を誘導する。。
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C_nの作用を通してmonadの射C_n \to \Omega^nS^nを定義する。
まず、随伴Hom(X,\OmegaY) \to Hom(SX,Y)が存在する。
これを繰り返したものを\phi^n:Hom(X,\Omega^nY) \to Hom(S^n,Y)とおく。
これの逆写像で1_{S^nX}をうつしたものを\eta_n:X \to \Omega^nS^nXとする。
これにより\alpha_n:C_nX \to C_n\Omega^nS^nX \to \Omega^nS^nXが定義される。
こrがmonadの射を与える。
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little cube operad C_nがloop spaceに作用することを見る。
L_nを以下で定めるn-fold loop seqの圏とする。
- 対象は{Y_i}nの列でY_i = \OmeraY_{i+1}なるもの
- 射はY_iの間の射で\Omegaと整合的なもの。
U_nを忘却関手U_n{Y_i}=Y_0とする。
空間Xに対してC_n(j) \times (\Omega^nX)^j \to \Omega^nXを以下で定める。
\Omega^nXを(S^n,*) \to (X,*)とみて、写像を適切に合成することで定める。
これによりC_nの\Omega^nXへの作用が定まる。
さらにX=\OmegaX'のとき、C_n \to C_{n+1}と作用は整合的。
これによりn-fold loop seqからC_n-algの圏への関手W_n:L_n \to C_n[T]が定まる。
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C_n(j)は\Sigma_j-eq homotopy eq to F(R^n;j)であり、従ってC_1はA_\infty-operadでC_nはlocally (n-2)-connected \Sigma-free operad/Nであり、C_inftyはE_infty-operadである。
ここでF(R^n;j)はR^nの相異なるj点の組全体のなす集合である。
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I^nを[0,1]^nとし、J^nをその内部とする。
little n-cubeとは線形埋め込みf:J^n \to J^nで軸が平行なものとする。
つまり、f=f_1\times \cdots\times f_nでf_i=(y_i-x_i)t+x_iとかける。
C_n(j)をlittle n-cubeのj-tuple (c_1,\ldots,c_j)であって、像は互いにdisjointとする。
これはJ^nのj直和からJ^nへの写像の集合とみなせるので、これから位相を入れることができる。
これによってoperadの構造を定めることができ、これをlittle n-cube operadという。
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discrete operad Dに対しoperad/DとはC \to Dで\pi_0(C) \to Dが同型なるもの。
Cが\Sigma-free operadとは各C(j)への\Sigma_jの作用がfreeなこと。
A_\infty-operadとは\Sigma-free operad/Mであって、C \to Mがlocal \Sigma-equivすなわち各jで\Sigma_j-equiv homotopy eqであること。
E_\infty-operadとは\Sigma-free operad/NでC \to Nがlocal equivすなわち各jでhomo\topy equivであること。
