2-pullbackについて
Kの1-cell f:A \to Cおよびg:B \to Cに対してそのpullbackとは、
0-cell A \times_C Bおよび1-cell p:A \times_C B \to A, q:A \times_C B \to B、2-cell \phi:fp \cong qgであって、以下の条件を満たすもの。
- 普通の圏における普遍性に対応する条件。
任意の0-cell X, 1-cell m:X \to A, n:X \to Bおよび可逆な2-cell \psi:fm \to gnに対して、ある1-cell h:X \to A \times_C Bと可逆な2-cell \alpha:ph \to mと\beta:qh \to nが存在して、2-cell \psiとg\beta.\phi h.f\alpha^{-1}が一致する。
- 1-cellについての条件。
1-cell h, k:X \to A \times_C Bと2-cell \mu:ph \to pk, \nu:qh \to qkであってf\mu=g\nuである（正確には\phiを用いて同一視できる）ものに対し、2-cell \gamma:h \to kが存在し、p\gamma=\mu, q\gamma=\nuとなる。
昨日も書いたが、1-cellと2-cellを並べて書いたものは2-categoryのhorizontal compositionから定まる関手。
例えばg\betaであれば\betaはK(X,B)の射qh \to nであり、gはK(B,C)の対象で、Kのhorizontal composition K(X,B) \times K(B,C) \to K(X,C)でgにより関手K(X,B) \to K(X,C)が定まる。
これによる射\betaの行き先をg\betaと書く。
また、g\beta.\phi h.f\alpha^{-1}とは2-cellの合成、つまりK(X,C)における射の合成のこと。
またl、正確には\phiを用いて同一視できるとは、2-cell f\mu:fph \to fpkとg\nu:gqh \to gqkはともにK(X,C)の射であり、\phi:fp \to gqにより\phi h:fph \to gqhと\phi k:fpk \to gqkが定まるが、この射と合成することでfph \to gqkとして一致するということ。
