一般のV-cat Xに値を持つV-functor F:C^op \otimes C \to Xのendは次のように定義する。
x \in Xに対して関手C^op \otimes C \to VをX(x, F(-,-))により定め、そのend \int_C X(x, F(-,-)) \in Vが存在するとき、これにより関手X \to Vが定まる。
この関手を表現するXの対象をend \int_C F(c,c)と定義する。
つまり各x \in Xに対して同型を与えるV-natural transform \eta_x:1 \to V(X(x, \int_C F(c,c)), \int_C X(x,F(c,c))が定まっている。
さらにendの定義から、1 \to V(\int_C X(x,F(c,c), F(c,c))が定まるので、これとの合成として1 \to V(X(x,int_C F(c,c)), F(c,c))も定まる。
