改めてweighted limitをやる。
Vをclosed symmetric monoidal catとし、F:K \to C, W:K \to VをV-functorとする。
FのWをindexとするweighted limitとは次で定まる関手を表現するCの対象lim^WF。
C^opの対象cに対し、関手C(c, F(-)):C^\op \to Vが定まる。
V-functorのV-enriched cat [K,V]における上の関手と関手Wの間の射として定まるVの対象[K, V](W, C(c,F(-)))をcに対応させることで、関手C^op \to Vが定まる。
つまりV-functor c \mapsto C(c, lim^WF)とc \mapsto [K, V](W, C(c,F(-)))はV-functor C^op \to Vとして同値になる。
特にC=Vの場合を考えよう。
この時W, V(v, F(-))はともに関手K \to Vであり、これらの間のV-functorの圏[K, V]の射はendを用いて[K, V](W, V(v, F(-))) = \int_{k \in K} V(Wk, V(v, Fk))として定義されるVの対象。
Vがclosed symmetericなのでV(Wk, V(v, Fk)) \cong V(v, V(Wk, Fk))であり、endの普遍性から\int_K V(v, V(Wk, Fk)) \cong V(v, \int_K V(Wk, Fk))となる。
つまりv \mapsto [K, V](W, V(v, F(-)))は\int_K V(Wk, Fk) = [K, V](W, F)が表現する関手である。
従ってlimt^W_F = [K, V](W, F)となる。
