comma objectについて。
例えばCatにおいて、1-cell=functor f:C \to Eとg:D \to Eに対してcomma category (f/g)とは
- 対象が(c,d,\alpha)でc \in C, d \in D, \alpha:f(c) \to g(d) \in E
- 射(c_1, d_1, \alpha_1) \to (c_2, d_2, \alpha_2)はCの射\phi:c_1 \to c_2とDの射\psi:d_1 \to d_2の組(\phi,\spi)で\alpha_2f(\phi)=g(\psi)\alpha_1を満たすもの。
さらに忘却関手H_C:(f/g) \to CとH_D:(f.g) \to Dをもち、自然変換\theta:f H_C \to g H_Dが存在する。
これらの関手は(f/g) \to Eで、f H_c(c,d,\alpha)=f(c), g H_D(c,d,\alpha)=g(d)であり、\alphaを対応させる自然変換。
これを一般化したものでKを2-categoryとして、0-cell A, B, Cと1-cell f:A \to C, g:B \to Cに対し、0-cell (f/g)と1-cell p:(f/g) \to A, q:(f/g) \to B及び自然変換\alpha:fp \to gqであって、普遍性を満たすもの。
ここで\phiは可逆とは限らない。
普遍性は
- 0-cellについて。
0-cell Xと1-cell a:X \to A, b:X \to B及び2-cell \phi:fa \to bqに対し、1-cell c:X \to (f/g)と可逆2-cell a \to pc, b \to qcが存在し\phi = \alpha uとなる。
- 1-cellについて。
1-cell h, k:X \to (f/g)と2-cell \phi:ph \to pkおよび\psi:qh \to qkであって2-cell fph \to gqkとして(\alpha k)(f\phi) = (g\psi)(\alpha h)を満たすものに対し、2-cell \beta:h \to kが存在してp\beta = \phi, q\beta = \psiを満たす。
